共通テストやザコクの二次試験なんてチャートそのまんま、ヌルゲーにも程がある
その通り
そのヌルゲーさえクリアできない奴らがいるから馬鹿にされるんだぞ
そのヌルゲーさえクリアできない奴らがいるから馬鹿にされるんだぞ
なんで難関校の２次で満点続出しないんですかねー
センターは暗記かもな
センターは暗記かもな
「数学なんて暗記 ﾄﾞﾔｯ」
あー、大学行って苦労しそうだなこいつ・・・・。
あー、大学行って苦労しそうだなこいつ・・・・。
>>5
でもまぁ歴史とかならシナリオがあるから好きで覚えれる人いるけど、
数式とか文字になったとたん抵抗を感じる人も多いだろうから科目としては暗記でもいいんじゃね
でもまぁ歴史とかならシナリオがあるから好きで覚えれる人いるけど、
数式とか文字になったとたん抵抗を感じる人も多いだろうから科目としては暗記でもいいんじゃね
ひょっとして国から地域貢献型大学の烙印を押された横国かな？w
国から地域貢献型大学の烙印を押された横国がしれっと筑波千葉と同格面するなｗ
横浜国立大学：世界水準の研究大学を目指す！（ﾄﾞﾔｯ!
↓
文部科学省：横浜国立大学は地域貢献型大学っと… ←ﾜﾛﾀwww
筑波大 指定国立大学 スパグロ採択 卓越大学院採択
千葉大 世界水準型研究大学 スパグロ採択 卓越大学院採択
神戸大 世界水準型研究大学 スパグロ落選 卓越大学院不採択
-----------------ここから下がザコクです------------------
埼玉大 地域貢献型大学 スパグロ落選 卓越大学院不採択
横国 地域貢献型大学 スパグロ落選 卓越大学院不採択 ←ﾜﾛﾀwww
文部科学省が国立大学を3つに分類。横国他55大学は地域貢献型大学に
https://tanuki-no-suji.at.webry.info/201508/article_2.html
国から地域貢献型大学の烙印を押された横国がしれっと筑波千葉と同格面するなｗ
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1逃げてて草
>>3
暗記すらできないやつが多数派だから、英語も社会もなかなか平均点が高得点にならない
日本人なんてそんなもんだよ
暗記すらできないやつが多数派だから、英語も社会もなかなか平均点が高得点にならない
日本人なんてそんなもんだよ
一言で暗記と言ってもピンキリ有って、
教科書の例題を断片的にうろ覚えしたら、そのいい加減な記憶をヒントに試験で完全再現し得点できる人と、
試験とほぼ同じ問題解答を一字一句間違いなく細部まで正確に覚えなきゃそれを試験で再現得点できない人では、
同じ暗記でも100点取る為に必要な暗記量が全然違う。
だから、暗記暗記連呼しても結局のところ、試験に対する思考力の影響は強いと主張する。
教科書の例題を断片的にうろ覚えしたら、そのいい加減な記憶をヒントに試験で完全再現し得点できる人と、
試験とほぼ同じ問題解答を一字一句間違いなく細部まで正確に覚えなきゃそれを試験で再現得点できない人では、
同じ暗記でも100点取る為に必要な暗記量が全然違う。
だから、暗記暗記連呼しても結局のところ、試験に対する思考力の影響は強いと主張する。
>>15
話し手の属性で「正しさを」判断するってこと？
東大理系出の日本の首相は韓国に土下座謝罪してたけど、日本人にはウケが悪かったねえ‥笑
話し手の属性で「正しさを」判断するってこと？
東大理系出の日本の首相は韓国に土下座謝罪してたけど、日本人にはウケが悪かったねえ‥笑
数学健常者=暗記を積み上げれば数学が解けるようになる
数学障害者=暗記に必要な閃きがないから入試で数学を避ける
数学障害者=暗記に必要な閃きがないから入試で数学を避ける
>>17
そーいう意味じゃないよー
難関大学の数学の難易度知ってる人が言う言葉とそうじゃない人だと言葉の重みが違うかなって思って笑
よくテレビでプロ野球応援してるおっさんが”なんであのボール打てへんのや”って喚いてるのみたことないか？みてるだけやとできそうやけどいざバッターになったら無理ゲーに感じる瞬間あるなーって
そーいう意味じゃないよー
難関大学の数学の難易度知ってる人が言う言葉とそうじゃない人だと言葉の重みが違うかなって思って笑
よくテレビでプロ野球応援してるおっさんが”なんであのボール打てへんのや”って喚いてるのみたことないか？みてるだけやとできそうやけどいざバッターになったら無理ゲーに感じる瞬間あるなーって
ひょっとして国から地域貢献型大学の烙印を押された横国かな？w
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解法を覚えるのは必要だけど、、、
例えば暗算はどれだけ出来るのか。
例えば2桁の掛け算。暗算が強い人は概算で答えが分かった上で計算する。だから速くて間違えない。高校のマーク模試でも制限時間の半分で十分。
筆算でしか解けない人は、中学入試までは大丈夫。でもその後の伸びが小さい。
例えば暗算はどれだけ出来るのか。
例えば2桁の掛け算。暗算が強い人は概算で答えが分かった上で計算する。だから速くて間違えない。高校のマーク模試でも制限時間の半分で十分。
筆算でしか解けない人は、中学入試までは大丈夫。でもその後の伸びが小さい。
2桁の掛け算って聞いたことない言葉だが
何桁と何桁を掛けるんや？
何桁と何桁を掛けるんや？
>>19
君の言ってることは君の属性次第で「重み」がなくなる程度の内容なのか
そんなら書き込まないほうがマシだわな
ただワタクだのザコクだのとレッテルの貼り合いになるだけやで
君の言ってることは君の属性次第で「重み」がなくなる程度の内容なのか
そんなら書き込まないほうがマシだわな
ただワタクだのザコクだのとレッテルの貼り合いになるだけやで
>>14
早い話が数学苦手な人は、
数学得意な人なら一つ覚えたら取れるような得点を取るのに100覚えなきゃいけない。
でも、暗記と言ってしまえば暗記だ。
早い話が数学苦手な人は、
数学得意な人なら一つ覚えたら取れるような得点を取るのに100覚えなきゃいけない。
でも、暗記と言ってしまえば暗記だ。
数学科生だけど、受験数学はチャートの例題を理解して覚えるだけで解けるぞ
ただこの「理解して」っていう部分を難しいと感じる人が多い
ただこの「理解して」っていう部分を難しいと感じる人が多い
>>26ワイイッチやけど、記述だから長くなるねんなぁ
新潟のやつは(1)が代入とか変形ごちゃごちゃやって連続する二つのnの式=整数の積が偶数やからみたいな
(2)は(1)を使ってg(x)=f(x+2011)でごちゃごちゃやればいい
新潟のやつは(1)が代入とか変形ごちゃごちゃやって連続する二つのnの式=整数の積が偶数やからみたいな
(2)は(1)を使ってg(x)=f(x+2011)でごちゃごちゃやればいい
んで二個目のやつは(1)がn/n+1
(2)は1/6nn(n+1)(2n+1)
(3)は1/12n(n+1)(n+2)(n+3)
(2)は1/6nn(n+1)(2n+1)
(3)は1/12n(n+1)(n+2)(n+3)
数学とか数年やってないからブランクあるわ
ひょっとして国から地域貢献型大学の烙印を押された横国かな？w
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横国 地域貢献型大学 スパグロ落選 卓越大学院不採択 ←ﾜﾛﾀwww
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国から地域貢献型大学の烙印を押された横国がしれっと筑波千葉と同格面するなｗ
横浜国立大学：世界水準の研究大学を目指す！（ﾄﾞﾔｯ!
↓
文部科学省：横浜国立大学は地域貢献型大学っと… ←ﾜﾛﾀwww
筑波大 指定国立大学 スパグロ採択 卓越大学院採択
千葉大 世界水準型研究大学 スパグロ採択 卓越大学院採択
神戸大 世界水準型研究大学 スパグロ落選 卓越大学院不採択
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埼玉大 地域貢献型大学 スパグロ落選 卓越大学院不採択
横国 地域貢献型大学 スパグロ落選 卓越大学院不採択 ←ﾜﾛﾀwww
文部科学省が国立大学を3つに分類。横国他55大学は地域貢献型大学に
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１０００年以上前の賢人がすでに答えを出した問いを
再現するだけの
創造性皆無の劣った科目
それがじゅけん数学
再現するだけの
創造性皆無の劣った科目
それがじゅけん数学
>>35
>１０００年以上前の賢人がすでに答えを出した問いを
>再現するだけの
賢人の考えを理解できると言う事が重要なんだよ。
他人の考えを理解する能力が高い人材が集まって相互作用する事で、
大衆の中から天才が見つけ出される。
数学が理解できない人の認識力で大衆の中から数学の天才を探し出す事は出来ない。
>１０００年以上前の賢人がすでに答えを出した問いを
>再現するだけの
賢人の考えを理解できると言う事が重要なんだよ。
他人の考えを理解する能力が高い人材が集まって相互作用する事で、
大衆の中から天才が見つけ出される。
数学が理解できない人の認識力で大衆の中から数学の天才を探し出す事は出来ない。
今、数学1をやってるよ。角の大小の比較とその角に向いあう辺の大きさの
大小の比較の関係って証明書いてないね。ネットで調べたけど。
割と難しいよね。余弦定理を使うと二乗が出てくるよね。二乗を一乗に
するときに、上の関係が必要になるようだけど。概して、２乗が出るときに
＋と-があるので分けることが必要になるね。
大小の比較の関係って証明書いてないね。ネットで調べたけど。
割と難しいよね。余弦定理を使うと二乗が出てくるよね。二乗を一乗に
するときに、上の関係が必要になるようだけど。概して、２乗が出るときに
＋と-があるので分けることが必要になるね。
>>8
12の1)
f(0)=c =整数
f(-1)=-1+a-b+c=整数
f(1)=1+a+b+c=整数
よってa+b=整数 a-b=整数
故に 2a=整数 2b=整数
あとどうすれば良い？
aもbも整数と言えれば良いけど、ここからわからん。
12の1)
f(0)=c =整数
f(-1)=-1+a-b+c=整数
f(1)=1+a+b+c=整数
よってa+b=整数 a-b=整数
故に 2a=整数 2b=整数
あとどうすれば良い？
aもbも整数と言えれば良いけど、ここからわからん。
abが整数とは言えない思うで
12-1途中まで
f(0)=c
f(-1)=-1+a-b+c
f(1)=1+a+b+c
a=(f(1)+f(-1))/2-c
b=(f(1)-f(-1))/2-1
f(1)とf(-1)が整数だから
f(1)+f(-1)とf(1)-f(-1)も整数で
(f(1)+f(-1))-(f(1)-f(-1))=2f(-1)なので
f(1)+f(-1)とf(1)-f(-1)の偶奇は一致
12-1途中まで
f(0)=c
f(-1)=-1+a-b+c
f(1)=1+a+b+c
a=(f(1)+f(-1))/2-c
b=(f(1)-f(-1))/2-1
f(1)とf(-1)が整数だから
f(1)+f(-1)とf(1)-f(-1)も整数で
(f(1)+f(-1))-(f(1)-f(-1))=2f(-1)なので
f(1)+f(-1)とf(1)-f(-1)の偶奇は一致
あ f(1)+f(-1)とf(1)-f(-1)が偶数のとき
aとbは整数なので、全ての整数xに対し
f(x)=整数+整数+整数+整数=は整数
い f(1)+f(-1)とf(1)-f(-1)が奇数のとき
aとbは奇数/2なので、
全ての偶数xに対し、f(x)=整数+(奇数/2)*偶数+(奇数/2)*偶数+整数=整数
全ての奇数xに対し、f(x)=整数+(奇数/2)*奇数+(奇数/2)*奇数+整数=整数
よって全ての整数xに対しf(x)は整数
aとbは整数なので、全ての整数xに対し
f(x)=整数+整数+整数+整数=は整数
い f(1)+f(-1)とf(1)-f(-1)が奇数のとき
aとbは奇数/2なので、
全ての偶数xに対し、f(x)=整数+(奇数/2)*偶数+(奇数/2)*偶数+整数=整数
全ての奇数xに対し、f(x)=整数+(奇数/2)*奇数+(奇数/2)*奇数+整数=整数
よって全ての整数xに対しf(x)は整数
一見暗記科目の様でも創造性が物を言う。
数学出来る人の多くは解放手段を断片的にしか覚えていないけど、
覚えていない記憶の欠損部分は本人の創造力によって無意識に補われる。
無意識的な作業だから本人は暗記だとしか言わないけれど、想像力のある人は暗記量を超える点数を取る。
数学出来る人の多くは解放手段を断片的にしか覚えていないけど、
覚えていない記憶の欠損部分は本人の創造力によって無意識に補われる。
無意識的な作業だから本人は暗記だとしか言わないけれど、想像力のある人は暗記量を超える点数を取る。
【W合格】九州の国立大学と福岡大学(九州の日大と呼ばれる総合大学)の同学部のW合格進学先【東進】
【法学部】
熊本大学100%-福岡大学0%
鹿児島大学100%-福岡大学0%
【経済学部】
長崎大学100%-福岡大学0%
佐賀大学100%-福岡大学0%
大分大学100%-福岡大学0%
宮崎大学・琉球大学は法経済がないので除外
理系の結果はこちら
宮崎大学(工)100%-福岡大学(工)0%
琉球大学(工)100%-福岡大学(工)0%
☆旧帝大である九州大学はW合格でMARCH関関同立を完封している
☆九州には11の国立大学が存在するが、残りの3校は九州工業大学・福岡教育大学・鹿屋体育大学である
------------------------------------------ >>1-3
・国立大学とワタクの一般入試の難易度(偏差値)は比べる事は無理な上に推薦率や学費も違う
・国立大学は中期日程が存在しない為、前期後期の2回しか受験機会がない上に、共通テストが1発勝負となっている
・地方国立大学は地方では高学歴で就職しやすい 上京して就職も可能
・大学生の童貞は雑魚
【法学部】
熊本大学100%-福岡大学0%
鹿児島大学100%-福岡大学0%
【経済学部】
長崎大学100%-福岡大学0%
佐賀大学100%-福岡大学0%
大分大学100%-福岡大学0%
宮崎大学・琉球大学は法経済がないので除外
理系の結果はこちら
宮崎大学(工)100%-福岡大学(工)0%
琉球大学(工)100%-福岡大学(工)0%
☆旧帝大である九州大学はW合格でMARCH関関同立を完封している
☆九州には11の国立大学が存在するが、残りの3校は九州工業大学・福岡教育大学・鹿屋体育大学である
------------------------------------------ >>1-3
・国立大学とワタクの一般入試の難易度(偏差値)は比べる事は無理な上に推薦率や学費も違う
・国立大学は中期日程が存在しない為、前期後期の2回しか受験機会がない上に、共通テストが1発勝負となっている
・地方国立大学は地方では高学歴で就職しやすい 上京して就職も可能
・大学生の童貞は雑魚
受験で、暗記頼みで数学をやる人と、そうでない人がいる、ということだよね。
良し悪しの問題ではないと思う。
良し悪しの問題ではないと思う。
こんなところで暗記だのなんだの屁理屈言って数学できない事を正当化するなよ。
世間は、数学を頭の良さの物差しと見なしているんだ。
世間は、数学を頭の良さの物差しと見なしているんだ。
1997年の旧数学2、100点取ったら偏差値80だってｗ
>>8
俺は文系だけど暗記数学やってる理系よりも数学が出来る。
頭を使えば自力で解けるよね。
(1)と(2)をまとめると
「連続する3個の整数に対して、関数が整数値を取るならばどんな整数に対しても関数が整数値を取る」となるのでまとめて解く。
俺は文系だけど暗記数学やってる理系よりも数学が出来る。
頭を使えば自力で解けるよね。
(1)と(2)をまとめると
「連続する3個の整数に対して、関数が整数値を取るならばどんな整数に対しても関数が整数値を取る」となるのでまとめて解く。
k、l、m、nを整数とする。
与えられた(自分で勝手に決められない)連続3整数m−1、m、m+1に対して
f(m−1)、f(m)、f(m+1)は整数である。
整数どうしの和と差も整数になるから、
f(m)とf(m)−f(m−1)とf(m+1)−f(m)は整数。・・・★
この★を同値変形していく。
m^3+am^2+bm+cは整数、
(2m＋1)a＋bは整数、
(2m−1)a＋bは整数。・・・☆
再び「整数とうしの和と差は整数」を使うと
am^2+bm+cは整数、
2aは整数、
4ma＋2bは整数。・・・♡
ここで2aが整数ならば4maも整数であるから
am^2+bm+cは整数、
2aは整数、
2bは整数。・・・♥
☆より
am^2+bm+cは整数、
a+bは整数、
−a+bは整数。・・・♤
♥より、
aとbは整数/2とおける。♠
♤と♠より、
aとbは
(A)「両方とも奇数/2」または
(B)「両方とも偶数/2」である。
(B)の時、
a、bは整数となり、♤よりcも整数となり証明は終わる。
(A)の時、
a=(2k+1)/2、b=(2l+1)/2とおける。♤よりam^2+bm+c
=(2k+1)n^2/2+(2l+1)n/2+c
=kn^2+ln+n(n+1)/2+c。
ここでn(n＋1)は連続する2整数の積であるから偶数である。よってn(n+1)/2は整数となり、この場合もcは整数となる。
一般の整数nに対して
f(n)=n^3+(2k+1)n^2/2+(2l+1)n/2+c
=n^3+kn^2+ln+c+n(n+1)/2となり整数となることが示された。
与えられた(自分で勝手に決められない)連続3整数m−1、m、m+1に対して
f(m−1)、f(m)、f(m+1)は整数である。
整数どうしの和と差も整数になるから、
f(m)とf(m)−f(m−1)とf(m+1)−f(m)は整数。・・・★
この★を同値変形していく。
m^3+am^2+bm+cは整数、
(2m＋1)a＋bは整数、
(2m−1)a＋bは整数。・・・☆
再び「整数とうしの和と差は整数」を使うと
am^2+bm+cは整数、
2aは整数、
4ma＋2bは整数。・・・♡
ここで2aが整数ならば4maも整数であるから
am^2+bm+cは整数、
2aは整数、
2bは整数。・・・♥
☆より
am^2+bm+cは整数、
a+bは整数、
−a+bは整数。・・・♤
♥より、
aとbは整数/2とおける。♠
♤と♠より、
aとbは
(A)「両方とも奇数/2」または
(B)「両方とも偶数/2」である。
(B)の時、
a、bは整数となり、♤よりcも整数となり証明は終わる。
(A)の時、
a=(2k+1)/2、b=(2l+1)/2とおける。♤よりam^2+bm+c
=(2k+1)n^2/2+(2l+1)n/2+c
=kn^2+ln+n(n+1)/2+c。
ここでn(n＋1)は連続する2整数の積であるから偶数である。よってn(n+1)/2は整数となり、この場合もcは整数となる。
一般の整数nに対して
f(n)=n^3+(2k+1)n^2/2+(2l+1)n/2+c
=n^3+kn^2+ln+c+n(n+1)/2となり整数となることが示された。
文字化けしてるけど、証明の核心は
(A) aとbは半奇数、cは整数
または
(B) a、b、cとも整数
となること。
(A) aとbは半奇数、cは整数
または
(B) a、b、cとも整数
となること。
>>49
(A)と(B)を導出するところの詳細が文字化けしてて解読できない。
計算したらそうなりそうなのはわかったが。
(A)と(B)を導出するところの詳細が文字化けしてて解読できない。
計算したらそうなりそうなのはわかったが。
(2)
g(x)=f(x+2017)とおく
g(x)=x^3+Ax^2+Bx+C(A B C は実数)の形で表され
g(-1) g(0) g(1)がすべて整数なので
(1)よりすべての整数xに対してg(x)は整数である
よって、すべての整数xに対してg(x-2017)もf(x)も整数である
g(x)=f(x+2017)とおく
g(x)=x^3+Ax^2+Bx+C(A B C は実数)の形で表され
g(-1) g(0) g(1)がすべて整数なので
(1)よりすべての整数xに対してg(x)は整数である
よって、すべての整数xに対してg(x-2017)もf(x)も整数である
>>50
場合分けをする必要が無い解法を考えついたので、若干変えます。
与えられた(自分で勝手に決められない)連続3整数m-1, m, m+1に対してf(m-1), f(m), f(m+1)は整数である。
整数-整数は整数だから、
f(m)は整数、
f(m)-f(m-1)は整数、
f(m+1)-f(m)は整数。★1
この★1を同値変形していく。
m^3+am^2+bm+cは整数、
(2m+1)a+bは整数、
(2m-1)a+bは整数。★2
am^2+bm+cは整数、
(∵m^3を引いた)
(2m+1)a+bは整数、
2aは整数(引いた)。★3
よって、
1) am(m-1)+(a+b)m+cは整数 (∵変形しただけ)
2) a+bは整数 (∵2aは整数なので2maは整数)
3) 2aは整数。★4
★4において、
m(m-1)は連続2整数の積だから偶数。よって
3)よりam(m-1)は整数。
2)より(a+b)mは整数
1)よりcは整数。★5
f(n)=n^3+an(n-1)+(a+b)n+c
は★5により、
任意の整数nに対して整数となる。
証明終わり。
場合分けをする必要が無い解法を考えついたので、若干変えます。
与えられた(自分で勝手に決められない)連続3整数m-1, m, m+1に対してf(m-1), f(m), f(m+1)は整数である。
整数-整数は整数だから、
f(m)は整数、
f(m)-f(m-1)は整数、
f(m+1)-f(m)は整数。★1
この★1を同値変形していく。
m^3+am^2+bm+cは整数、
(2m+1)a+bは整数、
(2m-1)a+bは整数。★2
am^2+bm+cは整数、
(∵m^3を引いた)
(2m+1)a+bは整数、
2aは整数(引いた)。★3
よって、
1) am(m-1)+(a+b)m+cは整数 (∵変形しただけ)
2) a+bは整数 (∵2aは整数なので2maは整数)
3) 2aは整数。★4
★4において、
m(m-1)は連続2整数の積だから偶数。よって
3)よりam(m-1)は整数。
2)より(a+b)mは整数
1)よりcは整数。★5
f(n)=n^3+an(n-1)+(a+b)n+c
は★5により、
任意の整数nに対して整数となる。
証明終わり。
まとめると、
「2aとa+bとcは整数」となる。
n(n-1)は偶数だから、
an(n-1)=a×(2×整数)
=2a×整数は整数。
∴ f(n)=n^3+an(n-1)+(a+b)n+c
はそれぞれの項が整数となる。
「2aとa+bとcは整数」となる。
n(n-1)は偶数だから、
an(n-1)=a×(2×整数)
=2a×整数は整数。
∴ f(n)=n^3+an(n-1)+(a+b)n+c
はそれぞれの項が整数となる。
最高次の係数が1である3次関数に対して連続3整数の関数値が全て整数ならば、任意の整数に対して整数値をとる。
一般化して
最高次の係数が1であるn次関数に対して連続n整数の関数値が全て整数ならば、任意の整数に対して整数値をとる。
一般化して
最高次の係数が1であるn次関数に対して連続n整数の関数値が全て整数ならば、任意の整数に対して整数値をとる。
数学的帰納法で証明する。
第一段。n=1の時、f(n)=n+aに整数mを代入したm+aは整数だからaは整数。従って任意の整数nに対してf(n)は整数となる。
第二段。次の1)と2)が仮定される
命題1) n≦kの時、ある連続するk個の整数に対してfが整数値を取れば、任意の整数に対してfは整数値を取る。
命題2) n=k+1の時、ある連続するk+1個の整数に対してfは整数値を取る。
n=k+1の時、g(n)=f(n+1)-f(n)はk次以下の多項式関数である。
命題2により、ある連続k+1個の整数 m+1, m+2, …m+k+1 に対してf(m+1)、f(m+2)、…、f(m+k+1)は全て整数であるから、g(m+1), g(m+2), …, g(m+k)は全て整数であり、命題1により任意の整数nに対してg(n)は整数である。
f(m+k+2)=f(m+k+1)+g(m+k+1)。これを繰り返せば大きな整数に対してfが整数値を取ることが示される。
また、f(m)=f(m+1)-g(m)。
これを繰り返せば小さな整数に対してfが整数値を取ることが示される。よってn=k+1の時も成り立つ。
(A)(B)により示された。
第一段。n=1の時、f(n)=n+aに整数mを代入したm+aは整数だからaは整数。従って任意の整数nに対してf(n)は整数となる。
第二段。次の1)と2)が仮定される
命題1) n≦kの時、ある連続するk個の整数に対してfが整数値を取れば、任意の整数に対してfは整数値を取る。
命題2) n=k+1の時、ある連続するk+1個の整数に対してfは整数値を取る。
n=k+1の時、g(n)=f(n+1)-f(n)はk次以下の多項式関数である。
命題2により、ある連続k+1個の整数 m+1, m+2, …m+k+1 に対してf(m+1)、f(m+2)、…、f(m+k+1)は全て整数であるから、g(m+1), g(m+2), …, g(m+k)は全て整数であり、命題1により任意の整数nに対してg(n)は整数である。
f(m+k+2)=f(m+k+1)+g(m+k+1)。これを繰り返せば大きな整数に対してfが整数値を取ることが示される。
また、f(m)=f(m+1)-g(m)。
これを繰り返せば小さな整数に対してfが整数値を取ることが示される。よってn=k+1の時も成り立つ。
(A)(B)により示された。
(1)
f(0)=cは整数、
f(1)=1+a+b+cは整数、
f(-1)=-1+a-b+cは整数。
cは整数。
1+a+b+cは整数、
f(1)+f(-1)=2a+2cは整数。
cは整数、
a+bは整数、
2aは整数。
後は>>53。
f(0)=cは整数、
f(1)=1+a+b+cは整数、
f(-1)=-1+a-b+cは整数。
cは整数。
1+a+b+cは整数、
f(1)+f(-1)=2a+2cは整数。
cは整数、
a+bは整数、
2aは整数。
後は>>53。
(2)
f(2016)は整数、
f(2017)は整数、
f(2018)は整数。
f(2017)は整数、
f(2017)-f(2016)は整数、
f(2018)-f(2017)は整数。
2017^3+2017^2a+2017b+c 整数
2017^3-2016^3+4033a+bは整数
2018^3-2017^3+4035a+bは整数
2017^2a+2017b+cは整数、
4033a+bは整数、
2aは整数。
2017×2016a+2017(a+b)+c 整数
a+bは整数、
2aは整数。
cは整数、
a+bは整数、
2aは整数。
後は>>53。
f(2016)は整数、
f(2017)は整数、
f(2018)は整数。
f(2017)は整数、
f(2017)-f(2016)は整数、
f(2018)-f(2017)は整数。
2017^3+2017^2a+2017b+c 整数
2017^3-2016^3+4033a+bは整数
2018^3-2017^3+4035a+bは整数
2017^2a+2017b+cは整数、
4033a+bは整数、
2aは整数。
2017×2016a+2017(a+b)+c 整数
a+bは整数、
2aは整数。
cは整数、
a+bは整数、
2aは整数。
後は>>53。
f(n)=n^4+an^3+bn^2+cn+d
でやってみる。
f(0)は整数、f(-1)は整数、
f(1)は整数、f(2)は整数とする。
f(0)=dは整数、
f(0)-f(-1)=は整数、
f(1)-f(0)は整数、
f(2)-f(1)は整数。
dは整数、
a-b+cは整数、
a+b+cは整数、
7a+3b+cは整数。
dは整数、
2bは整数、
a+b+cは整数、
6a+2bは整数。
dは整数、2bは整数、
a+b+cは整数、6aは整数 ★
f(n)=n^4+an(n-1)(n-2)+
(3a+b)n(n-1)+(a+b+c)n+d
=n^4+a×6k+(3a+b)×2l+
(a+b+c)n+d (k, lは整数)とおけて
=n^4+6ak+(6a+2b)l+(a+b+c)n+d。
★により、これは任意の整数nに対して整数となる。
でやってみる。
f(0)は整数、f(-1)は整数、
f(1)は整数、f(2)は整数とする。
f(0)=dは整数、
f(0)-f(-1)=は整数、
f(1)-f(0)は整数、
f(2)-f(1)は整数。
dは整数、
a-b+cは整数、
a+b+cは整数、
7a+3b+cは整数。
dは整数、
2bは整数、
a+b+cは整数、
6a+2bは整数。
dは整数、2bは整数、
a+b+cは整数、6aは整数 ★
f(n)=n^4+an(n-1)(n-2)+
(3a+b)n(n-1)+(a+b+c)n+d
=n^4+a×6k+(3a+b)×2l+
(a+b+c)n+d (k, lは整数)とおけて
=n^4+6ak+(6a+2b)l+(a+b+c)n+d。
★により、これは任意の整数nに対して整数となる。
>>55
わからないです。
第一段。n=1の時、f(n)=n+aに整数mを代入したm+aは整数だからaは整数。従って任意の整数nに対してf(n)は整数となる。
ってなに？
n=1ならf(n)=n+a=1+aじゃないの？
変数名変えないと混乱する。
こうではないの？
n=1のとき
f(x)=x+a とする。
このときある整数xでf(x)が整数ならaが整数。
故に任意の整数xに対してf(x)は整数。
わからないです。
第一段。n=1の時、f(n)=n+aに整数mを代入したm+aは整数だからaは整数。従って任意の整数nに対してf(n)は整数となる。
ってなに？
n=1ならf(n)=n+a=1+aじゃないの？
変数名変えないと混乱する。
こうではないの？
n=1のとき
f(x)=x+a とする。
このときある整数xでf(x)が整数ならaが整数。
故に任意の整数xに対してf(x)は整数。
>>55
第二段。次の1)と2)が仮定される
命題1) n≦kの時、ある連続するk個の整数に対してfが整数値を取れば、任意の整数に対してfは整数値を取る。
命題2) n=k+1の時、ある連続するk+1個の整数に対してfは整数値を取る。
↑がよくわからない。
命題1を数学的帰納法の仮定として、
「命題1が成り立つなら命題2が示される」ことを示す。
では？
第二段。次の1)と2)が仮定される
命題1) n≦kの時、ある連続するk個の整数に対してfが整数値を取れば、任意の整数に対してfは整数値を取る。
命題2) n=k+1の時、ある連続するk+1個の整数に対してfは整数値を取る。
↑がよくわからない。
命題1を数学的帰納法の仮定として、
「命題1が成り立つなら命題2が示される」ことを示す。
では？
>>55
n=k+1の時、g(n)=f(n+1)-f(n)はk次以下の多項式関数である。
はなぜ？
f(n)がx^nの多項式を意味してるんだと勝手に推測してるんだけども、だとすると
f(n+1)はn+1次の多項式だよね。
n=k+1ならk次にはならない。
そもそもf(n)がよくわからないんだが。
fn(x)=x^n+an-1 ×x^(n-1)+...
と言いたいのでは？
だとしてもそのあとが解読できないが。
n=k+1の時、g(n)=f(n+1)-f(n)はk次以下の多項式関数である。
はなぜ？
f(n)がx^nの多項式を意味してるんだと勝手に推測してるんだけども、だとすると
f(n+1)はn+1次の多項式だよね。
n=k+1ならk次にはならない。
そもそもf(n)がよくわからないんだが。
fn(x)=x^n+an-1 ×x^(n-1)+...
と言いたいのでは？
だとしてもそのあとが解読できないが。
やっぱり解読できない。
多分、正しい証明なんだと思うが解読困難。
多分、正しい証明なんだと思うが解読困難。
>>62
この証明自体は有名なものですがやや難解です。
・A(n)という命題を帰納法で証明する場合、
第1段。n=1の時、
命題A(n=1)が成り立つ。
第2段。n=k(あるいはn≦k)の時、
命題A(n=k)(あるいは命題A(n≦k)が成り立つと仮定して、
命題A(k+1)が成り立つ。
仮定はA(n=k)だけです。
この証明自体は有名なものですがやや難解です。
・A(n)という命題を帰納法で証明する場合、
第1段。n=1の時、
命題A(n=1)が成り立つ。
第2段。n=k(あるいはn≦k)の時、
命題A(n=k)(あるいは命題A(n≦k)が成り立つと仮定して、
命題A(k+1)が成り立つ。
仮定はA(n=k)だけです。
しかし、証明すべき命題がP⇒Qの形の場合、第2段は
P(k)⇒Q(k)が成り立つ
ことを仮定して、
P(k+1)⇒Q(k+1)が成り立つ
ことを示すことになります。
第2段における仮定は、
1) P(k)⇒Q(k) が成り立つ
2) P(k+1) が成り立つ
の2つです。これらの仮定の下で
3) Q(k+1) が成り立つことを示すことになります。
P(k)⇒Q(k)が成り立つ
ことを仮定して、
P(k+1)⇒Q(k+1)が成り立つ
ことを示すことになります。
第2段における仮定は、
1) P(k)⇒Q(k) が成り立つ
2) P(k+1) が成り立つ
の2つです。これらの仮定の下で
3) Q(k+1) が成り立つことを示すことになります。
>>59
すいません。次数にnまたはkを使い、ダミー変数はxを使ってください。n'をダブって使っていました。
→最高次の係数が1である多項式関数はf(x)=x+a (aは実数)とおける。
ここで、与えられた整数mに対する関数値が整数になるから、
f(m)=m+aは整数。
よってaは整数になる。
従って任意の整数(全ての整数) iに対してf(i)=i+aは整数となる。
第1段の証明終わり。
すいません。次数にnまたはkを使い、ダミー変数はxを使ってください。n'をダブって使っていました。
→最高次の係数が1である多項式関数はf(x)=x+a (aは実数)とおける。
ここで、与えられた整数mに対する関数値が整数になるから、
f(m)=m+aは整数。
よってaは整数になる。
従って任意の整数(全ての整数) iに対してf(i)=i+aは整数となる。
第1段の証明終わり。
>>60
初めからきちんと定義していなかったので、次数と変数の置き場所を間違えてしまいました。訂正します。
n次モニック多項式f(n; x)を
f(n; x)=Σa(k)x^k (k=0, 1, …, n)
とする。a(n)=1。
g(n; x)=f(n+1; x+1)-f(n+1; x)
とする。g(n; x)はn次以下の多項式となる。
初めからきちんと定義していなかったので、次数と変数の置き場所を間違えてしまいました。訂正します。
n次モニック多項式f(n; x)を
f(n; x)=Σa(k)x^k (k=0, 1, …, n)
とする。a(n)=1。
g(n; x)=f(n+1; x+1)-f(n+1; x)
とする。g(n; x)はn次以下の多項式となる。
帰納法の第2段を具体的な数字でなぞってみます。
第2段。n≦2(=k)の時に成り立つと仮定してn=3(=k+1)の時を示す。
f(3; x)は与えられた連続3整数m+1、m+2、m+3に対して整数値を取る。
仮定1) n≦2(=k)の時に成り立つ
仮定2) f(3; x)は与えられた
連続3整数m+1、m+2、m+3に対して整数値を取る。
ここで、
g(2 x)=f(3; x+1)-f(3; x)
と定義すると、g(2 x)は2次以下である。
第2段。n≦2(=k)の時に成り立つと仮定してn=3(=k+1)の時を示す。
f(3; x)は与えられた連続3整数m+1、m+2、m+3に対して整数値を取る。
仮定1) n≦2(=k)の時に成り立つ
仮定2) f(3; x)は与えられた
連続3整数m+1、m+2、m+3に対して整数値を取る。
ここで、
g(2 x)=f(3; x+1)-f(3; x)
と定義すると、g(2 x)は2次以下である。
整数-整数は整数であるから
仮定2よりg(2; m), g(2; m+1)は整数である。すると
仮定1より g(2; x)は任意の整数xに対して整数値を取る。
今、与えられた最大の整数m+2より大きい整数m+3に対しては
g(2; m+2)=f(3; m+2)-f(3; m+1)
により、整数であることが示される。これを続ければどんなに大きな整数に対しても整数値を取ることが(厳密にはこれも帰納法により)示される。
同様にどんなに小さな整数に対しても整数値を取ることが示される。
よってこの時、全ての整数xに対してf(3; x) は整数である。
仮定2よりg(2; m), g(2; m+1)は整数である。すると
仮定1より g(2; x)は任意の整数xに対して整数値を取る。
今、与えられた最大の整数m+2より大きい整数m+3に対しては
g(2; m+2)=f(3; m+2)-f(3; m+1)
により、整数であることが示される。これを続ければどんなに大きな整数に対しても整数値を取ることが(厳密にはこれも帰納法により)示される。
同様にどんなに小さな整数に対しても整数値を取ることが示される。
よってこの時、全ての整数xに対してf(3; x) は整数である。
論理構造
仮定される命題1
・1次関数f(x)について
f(1)が整数⇒f(x)は整数
・2次関数f(x)について
f(1) f(2)が整数⇒f(x)は整数
仮定される命題2
f(1)、f(2)、f(3)は整数。
証明すべき命題3
f(x)は整数。
※上で数字の1、2、3は与えられた連続する数字であり、何でもよい。5、6、7でも、200、201、202でも。
※上でxは任意の整数の意味であり、例外なく全て、の意味。
仮定される命題1
・1次関数f(x)について
f(1)が整数⇒f(x)は整数
・2次関数f(x)について
f(1) f(2)が整数⇒f(x)は整数
仮定される命題2
f(1)、f(2)、f(3)は整数。
証明すべき命題3
f(x)は整数。
※上で数字の1、2、3は与えられた連続する数字であり、何でもよい。5、6、7でも、200、201、202でも。
※上でxは任意の整数の意味であり、例外なく全て、の意味。
※ここでは、fは3次、gは2次以下である。
仮定2により、
g(1)=f(2)-f(1)は整数
g(2)=f(3)-f(2)は整数
である。すると、
gは仮定1を満たすので、
g(1)とg(2)だけでなく全ての整数xに対して整数となる。
g(3)も整数、g(4)もg(1000)も、g(-175)も全て整数となる。
f(4)=f(3)+g(3)で、右辺は整数+整数だから左辺は整数となる。
これを続ければ、4、5、6、…に対してfが整数値を取る事が分かる。上向きの帰納法。
逆に
f(0)=f(1)-g(0)より、f(0)が整数であることが分かる。下向きの帰納法。
これで全ての整数xに対して関数値f(x)は整数となることが示された。
仮定2により、
g(1)=f(2)-f(1)は整数
g(2)=f(3)-f(2)は整数
である。すると、
gは仮定1を満たすので、
g(1)とg(2)だけでなく全ての整数xに対して整数となる。
g(3)も整数、g(4)もg(1000)も、g(-175)も全て整数となる。
f(4)=f(3)+g(3)で、右辺は整数+整数だから左辺は整数となる。
これを続ければ、4、5、6、…に対してfが整数値を取る事が分かる。上向きの帰納法。
逆に
f(0)=f(1)-g(0)より、f(0)が整数であることが分かる。下向きの帰納法。
これで全ての整数xに対して関数値f(x)は整数となることが示された。
数学的帰納法自体はわかってます。
ノーテーションが混乱してて何をしてるのかがわからなかったので、修正した方を後で見てみます。
ノーテーションが混乱してて何をしてるのかがわからなかったので、修正した方を後で見てみます。
>>68
仮定2よりg(2; m), g(2; m+1)は整数である。すると
g(2:m+2) とg(2:m+1)でないですか？
仮定2よりg(2; m), g(2; m+1)は整数である。すると
g(2:m+2) とg(2:m+1)でないですか？
>>66
n次モニック多項式f(n; x)を
f(n; x)=Σa(k)x^k (k=0, 1, …, n)
とする。a(n)=1。
g(n; x)=f(n+1; x+1)-f(n+1; x)
とする。g(n; x)はn次以下の多項式となる。
n=1のとき成立
nがk以下で成立すると仮定すると
n=k+1のとき
f(k+1:m),f(k+1:m+1)～,f(k+1:m+k)のk+1個が整数であるならは、
g(k:m),g(k:m+1)～,g(k:m+k-1)のk個の値も整数
gはk次なので数学的帰納法の仮定より全ての整数xに対してg(k:x)は整数となる。
ゆえに、上でf(k+1:m+k+2)=g(k:m+k+1)+f(k+1:m+k+1)は整数
f(k+1:m+k+3)=g(k:m+k+2)+f(k+1:m+k+2)は整数
とひとつずつ増やしていける。減らす方も同様にできる。
よってk+1でも成立する。
こういうことね。
最高次の係数が1なのがミソだね。差は次数がひとつ落ちる。
n次モニック多項式f(n; x)を
f(n; x)=Σa(k)x^k (k=0, 1, …, n)
とする。a(n)=1。
g(n; x)=f(n+1; x+1)-f(n+1; x)
とする。g(n; x)はn次以下の多項式となる。
n=1のとき成立
nがk以下で成立すると仮定すると
n=k+1のとき
f(k+1:m),f(k+1:m+1)～,f(k+1:m+k)のk+1個が整数であるならは、
g(k:m),g(k:m+1)～,g(k:m+k-1)のk個の値も整数
gはk次なので数学的帰納法の仮定より全ての整数xに対してg(k:x)は整数となる。
ゆえに、上でf(k+1:m+k+2)=g(k:m+k+1)+f(k+1:m+k+1)は整数
f(k+1:m+k+3)=g(k:m+k+2)+f(k+1:m+k+2)は整数
とひとつずつ増やしていける。減らす方も同様にできる。
よってk+1でも成立する。
こういうことね。
最高次の係数が1なのがミソだね。差は次数がひとつ落ちる。
いや、ダメな気がしてきた。
gの最高次の係数が1とは限らないよね。
gの最高次の係数が1とは限らないよね。
>>70
仮定2により、
g(1)=f(2)-f(1)は整数
g(2)=f(3)-f(2)は整数
である。すると、
gは仮定1を満たすので、
g(1)とg(2)だけでなく全ての整数xに対して整数となる。
上は、言えるんだっけ？
gの最高次の係数は1とは限らないと思うけど、
仮定1が使える？
仮定2により、
g(1)=f(2)-f(1)は整数
g(2)=f(3)-f(2)は整数
である。すると、
gは仮定1を満たすので、
g(1)とg(2)だけでなく全ての整数xに対して整数となる。
上は、言えるんだっけ？
gの最高次の係数は1とは限らないと思うけど、
仮定1が使える？
>>77
使えません。実は証明を読み直して自分でも仮定1は使えないなと想いました。
ただしモニックであることは本質的ではないので結果的にはその筋で大丈夫です。
g(2; x)=f(3; x+1)-f(3; x)
=3x^2+…となります。
これはf(2; x)(モニック)が全ての整数に対して整数値を取ることを示した後、x^2を3x^2に変えるだけです(係数が整数ならば同じ様に示せる)。
「自分で設定しなければならない文字の数」が本質的です。
最高次の係数が1であることが本質的なのではなく「最高次の係数が整数であること」が本質的です。
f(3)=x^3+ax^2+bx+cでOKならば、
g(3)=4x^3+dx^2+ex+fでも全くOKです。
同様にf(k; x)=x^k+…でOKならば
g(k; x)=(k+1)x^k+…でもOKです。
使えません。実は証明を読み直して自分でも仮定1は使えないなと想いました。
ただしモニックであることは本質的ではないので結果的にはその筋で大丈夫です。
g(2; x)=f(3; x+1)-f(3; x)
=3x^2+…となります。
これはf(2; x)(モニック)が全ての整数に対して整数値を取ることを示した後、x^2を3x^2に変えるだけです(係数が整数ならば同じ様に示せる)。
「自分で設定しなければならない文字の数」が本質的です。
最高次の係数が1であることが本質的なのではなく「最高次の係数が整数であること」が本質的です。
f(3)=x^3+ax^2+bx+cでOKならば、
g(3)=4x^3+dx^2+ex+fでも全くOKです。
同様にf(k; x)=x^k+…でOKならば
g(k; x)=(k+1)x^k+…でもOKです。
最初の部分だけ証明してみます。
pを整数とする。
f(3; x)=px^3+ax^2+bx+cが連続3整数m+1、m+2、m+3に対して整数値を取るとすると
p(m+1)^3+a(m+1)^2+b(m+1)+c
は整数、
p(m+2)^3+a(m+2)^2+b(m+2)+c
は整数、
p(m+3)^3+a(m+3)^2+b(m+3)+c
は整数。
a(m+1)^2+b(m+1)+cは整数、
a(m+2)^2+b(m+2)+cは整数、
a(m+3)^2+b(m+3)+cは整数。
以下同様。
モニックが本質でないことが分かると想います。
pを整数とする。
f(3; x)=px^3+ax^2+bx+cが連続3整数m+1、m+2、m+3に対して整数値を取るとすると
p(m+1)^3+a(m+1)^2+b(m+1)+c
は整数、
p(m+2)^3+a(m+2)^2+b(m+2)+c
は整数、
p(m+3)^3+a(m+3)^2+b(m+3)+c
は整数。
a(m+1)^2+b(m+1)+cは整数、
a(m+2)^2+b(m+2)+cは整数、
a(m+3)^2+b(m+3)+cは整数。
以下同様。
モニックが本質でないことが分かると想います。
次数下げを行う時に
g(n, x)=(n+1)x^n+…が必要になるので、
第1段
f1=x+…を示す。α
f'1=p(1)x+…を示す。β
(p(1)は任意の整数)
第2段
fk=x^k+…γ
f'k=p(k)x^k+…δ
の成立を仮定する。
(p(k)は任意の整数)
と考えてみれば、モニックである必要が無いことが分かる。
上のαとγは不要でβとδだけで十分。
g(n, x)=(n+1)x^n+…が必要になるので、
第1段
f1=x+…を示す。α
f'1=p(1)x+…を示す。β
(p(1)は任意の整数)
第2段
fk=x^k+…γ
f'k=p(k)x^k+…δ
の成立を仮定する。
(p(k)は任意の整数)
と考えてみれば、モニックである必要が無いことが分かる。
上のαとγは不要でβとδだけで十分。
>>78
これはf(2; x)(モニック)が全ての整数に対して整数値を取ることを示した後、x^2を3x^2に変えるだけです(係数が整数ならば同じ様に示せる)。
ここですが、係数が整数っていえるんでしたっけ。
基本のスジは良さそうに思ってるけど
まだ、自分の中では完全につながってない。
これはf(2; x)(モニック)が全ての整数に対して整数値を取ることを示した後、x^2を3x^2に変えるだけです(係数が整数ならば同じ様に示せる)。
ここですが、係数が整数っていえるんでしたっけ。
基本のスジは良さそうに思ってるけど
まだ、自分の中では完全につながってない。
最高次の係数が整数なら成り立つか。
>>82
そう。最高次の係数が整数ということ。
つまり、
命題、n次多項式関数f(n; x) があり、最高次の係数は整数とする。他の係数及び定数項は実数とする。
ある連続するn個の整数に対してf(n; x) が整数値を取るならば、f(n; x)は全ての整数に対して整数値を取る。
としても同様に証明出来るということ。
そう。最高次の係数が整数ということ。
つまり、
命題、n次多項式関数f(n; x) があり、最高次の係数は整数とする。他の係数及び定数項は実数とする。
ある連続するn個の整数に対してf(n; x) が整数値を取るならば、f(n; x)は全ての整数に対して整数値を取る。
としても同様に証明出来るということ。
なお、第2段での仮定は「n=k」ではなく「n≦k」ですが、見づらくなるので、「n=k」と書いています。
gはfに対して2つ以上次数が下がらないようなので「n=k」でも良さそうな気がしますが念のため。
gはfに対して2つ以上次数が下がらないようなので「n=k」でも良さそうな気がしますが念のため。
